二项式问题解决练习与巩固
在以下二项式展开中，求 \(x^3\) 的系数：
a) \((3+x)^5\)
b) \((1+2x)^5\)
c) \((1-x)^6\)
d) \((3x+2)^5\)
e) \((1+x)^{10}\)
f) \((3-2x)^6\)
使用通项公式：\(T_{r+1} = \binom{n}{r}a^{n-r}b^r\)
确定目标项的指数，然后计算对应的系数。
a) \((3+x)^5\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{5}{3}3^2 = 10 \times 9 = 90\)
b) \((1+2x)^5\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{5}{3}1^2(2)^3 = 10 \times 8 = 80\)
c) \((1-x)^6\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{6}{3}1^3(-1)^3 = 20 \times (-1) = -20\)
d) \((3x+2)^5\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{5}{3}(3)^3(2)^2 = 10 \times 27 \times 4 = 1080\)
e) \((1+x)^{10}\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{10}{3}1^7 = 120\)
f) \((3-2x)^6\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{6}{3}3^3(-2)^3 = 20 \times 27 \times (-8) = -4320\)
在以下二项式展开中，求 \(x^3\) 的系数：
a) \((1+x)^{20}\)
b) \((4-3x)^7\)
c) \((1-\frac{1}{2}x)^6\)
d) \((3+\frac{1}{2}x)^7\)
e) \((2-\frac{1}{2}x)^8\)
f) \((5+\frac{1}{4}x)^5\)
注意分数系数的处理，计算时要仔细。
使用计算器计算大的组合数。
a) \((1+x)^{20}\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{20}{3} = 1140\)
b) \((4-3x)^7\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{7}{3}4^4(-3)^3 = 35 \times 256 \times (-27) = -241920\)
c) \((1-\frac{1}{2}x)^6\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{6}{3}1^3(-\frac{1}{2})^3 = 20 \times (-\frac{1}{8}) = -\frac{5}{2}\)
d) \((3+\frac{1}{2}x)^7\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{7}{3}3^4(\frac{1}{2})^3 = 35 \times 81 \times \frac{1}{8} = \frac{2835}{8}\)
e) \((2-\frac{1}{2}x)^8\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{8}{3}2^5(-\frac{1}{2})^3 = 56 \times 32 \times (-\frac{1}{8}) = -224\)
f) \((5+\frac{1}{4}x)^5\) 中 \(x^3\) 的系数：\(\binom{5}{3}5^2(\frac{1}{4})^3 = 10 \times 25 \times \frac{1}{64} = \frac{125}{32}\)
在 \((2+ax)^6\) 的展开中，\(x^2\) 的系数是60。求常数 \(a\) 的两个可能值。
使用通项公式建立关于 \(a\) 的方程。
注意 \(a\) 可能有多个值。
\(x^2\) 项 = \(\binom{6}{2}2^4(ax)^2 = \binom{6}{2} \times 16 \times a^2x^2\)
\(\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{720}{2 \times 24} = \frac{720}{48} = 15\)
因此 \(15 \times 16 \times a^2 = 60\)
\(240a^2 = 60\)
\(a^2 = \frac{60}{240} = \frac{1}{4}\)
\(a = \pm\frac{1}{2}\)
因此 \(a\) 的两个可能值是 \(\frac{1}{2}\) 和 \(-\frac{1}{2}\)
在 \((3+bx)^5\) 的展开中，\(x^3\) 的系数是-720。求常数 \(b\) 的值。
使用通项公式建立关于 \(b\) 的方程。
注意符号的变化。
\(x^3\) 项 = \(\binom{5}{3}3^2(bx)^3 = \binom{5}{3} \times 9 \times b^3x^3\)
\(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10\)
因此 \(10 \times 9 \times b^3 = -720\)
\(90b^3 = -720\)
\(b^3 = \frac{-720}{90} = -8\)
\(b = \sqrt[3]{-8} = -2\)
在 \((2+x)(3-ax)^4\) 的展开中，\(x^3\) 的系数是30。求常数 \(a\) 的三个可能值。
先展开 \((3-ax)^4\)，然后与 \((2+x)\) 相乘。
考虑所有可能产生 \(x^3\) 项的组合。
首先展开 \((3-ax)^4\)：
\((3-ax)^4 = 3^4 + \binom{4}{1}3^3(-ax) + \binom{4}{2}3^2(-ax)^2 + \binom{4}{3}3^1(-ax)^3 + \cdots\)
\(= 81 - 108ax + 54a^2x^2 - 12a^3x^3 + \cdots\)
现在展开 \((2+x)(3-ax)^4\)：
\(x^3\) 项 = \(2 \times (-12a^3x^3) + x \times 54a^2x^2 = -24a^3x^3 + 54a^2x^3 = (-24a^3 + 54a^2)x^3\)
因此 \(-24a^3 + 54a^2 = 30\)
\(-24a^3 + 54a^2 - 30 = 0\)
\(-6(4a^3 - 9a^2 + 5) = 0\)
\(4a^3 - 9a^2 + 5 = 0\)
\((a-1)(4a^2-5a+5) = 0\)
因此 \(a = 1\) 或 \(4a^2-5a+5 = 0\)
对于 \(4a^2-5a+5 = 0\)：
\(\Delta = 25 - 80 = -55 < 0\)，无实数解
因此 \(a = 1\)
当 \((1-2x)^p\) 展开时，\(x^2\) 的系数是40。已知 \(p > 0\)，使用这个信息求：
a) 常数 \(p\) 的值
b) \(x\) 的系数
c) \(x^3\) 的系数
使用通项公式建立关于 \(p\) 的方程。
需要用到组合数的定义。
a) \(x^2\) 项 = \(\binom{p}{2}1^{p-2}(-2x)^2 = \binom{p}{2} \times 4x^2 = 40x^2\)
因此 \(\binom{p}{2} \times 4 = 40\)
\(\binom{p}{2} = \frac{40}{4} = 10\)
\(\frac{p!}{2!(p-2)!} = 10\)
\(\frac{p(p-1)}{2} = 10\)
\(p(p-1) = 20\)
\(p^2 - p - 20 = 0\)
\((p-5)(p+4) = 0\)
因为 \(p > 0\)，所以 \(p = 5\)
b) \(x\) 的系数 = \(\binom{5}{1}1^4(-2) = 5 \times (-2) = -10\)
c) \(x^3\) 的系数 = \(\binom{5}{3}1^2(-2)^3 = 10 \times (-8) = -80\)
a) 求 \((5+px)^{30}\) 的二项式展开的前三项，按 \(x\) 的升幂排列，其中 \(p\) 是非零常数。
b) 已知在这个展开中，\(x^2\) 的系数是 \(x\) 的系数的29倍，求 \(p\) 的值。
先展开二项式，然后建立关于 \(p\) 的方程。
注意大数的计算。
a) \((5+px)^{30} = 5^{30} + \binom{30}{1}5^{29}(px) + \binom{30}{2}5^{28}(px)^2 + \cdots\)
\(= 5^{30} + 30 \times 5^{29}px + 435 \times 5^{28}p^2x^2 + \cdots\)
b) 根据题意：\(435 \times 5^{28}p^2 = 29 \times 30 \times 5^{29}p\)
\(435p^2 = 29 \times 30 \times 5p\)
\(435p^2 = 870p\)
\(435p^2 - 870p = 0\)
\(435p(p - 2) = 0\)
因为 \(p\) 是非零常数，所以 \(p = 2\)
在 \((1+kx)^8\) 的展开中，\(x\) 的系数是 \(-r\)，\(x^2\) 的系数是 \(7r\)。求 \(k\) 和 \(r\) 的值。
建立关于 \(k\) 和 \(r\) 的方程组。
使用代入法求解。
\((1+kx)^8 = 1^8 + \binom{8}{1}1^7(kx) + \binom{8}{2}1^6(kx)^2 + \cdots\)
\(= 1 + 8kx + 28k^2x^2 + \cdots\)
根据题意：\(8k = -r\) 和 \(28k^2 = 7r\)
从第二个方程：\(r = 4k^2\)
代入第一个方程：\(8k = -4k^2\)
\(4k^2 + 8k = 0\)
\(4k(k + 2) = 0\)
因为 \(k\) 是非零常数，所以 \(k = -2\)
因此 \(r = 4(-2)^2 = 16\)
在 \((2+ax)^5\) 的展开中，\(x^3\) 的系数是80。求常数 \(a\) 的值。
使用通项公式建立关于 \(a\) 的方程。
注意计算精度。
\(x^3\) 项 = \(\binom{5}{3}2^2(ax)^3 = \binom{5}{3} \times 4 \times a^3x^3\)
\(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10\)
因此 \(10 \times 4 \times a^3 = 80\)
\(40a^3 = 80\)
\(a^3 = \frac{80}{40} = 2\)
\(a = \sqrt[3]{2}\)
在 \((1-3x)^n\) 的展开中，\(x^2\) 的系数是135。已知 \(n > 0\)，求 \(n\) 的值。
使用通项公式建立关于 \(n\) 的方程。
需要用到组合数的定义。
\(x^2\) 项 = \(\binom{n}{2}1^{n-2}(-3x)^2 = \binom{n}{2} \times 9x^2 = 135x^2\)
因此 \(\binom{n}{2} \times 9 = 135\)
\(\binom{n}{2} = \frac{135}{9} = 15\)
\(\frac{n!}{2!(n-2)!} = 15\)
\(\frac{n(n-1)}{2} = 15\)
\(n(n-1) = 30\)
\(n^2 - n - 30 = 0\)
\((n-6)(n+5) = 0\)
因为 \(n > 0\)，所以 \(n = 6\)